Cotangente

In matematica, in particolare in trigonometria, la cotangente di un angolo è definita come la proiezione sull'asse ${\displaystyle x}$ del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto ${\displaystyle (0;1)}$. Spesso si usa definirla anche tramite il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo:

${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}.}$

Attenzione: la cotangente non è il reciproco della tangente: ${\displaystyle \cot x={\frac {1}{\tan x}}}$, come molti libri di matematica riportano, infatti è facile notare che per ${\displaystyle x={{\pi } \over {2}}}$ le due funzioni sono diverse.

In un triangolo rettangolo, la cotangente di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra il cateto ad esso adiacente e quello opposto.

La cotangente è una funzione continua nel dominio ed è periodica con periodo minimo ${\displaystyle \pi }$, cioè ${\displaystyle \cot x=\cot(x k\pi ),k\in \mathbb {Z} }$. Non è una funzione limitata, né invertibile. Tuttavia se si restringe il dominio all'intervallo ${\displaystyle (0,\pi )}$ la funzione cotangente ristretta risulta invertibile in quanto strettamente monotona (in particolare strettamente decrescente) in tale intervallo. La funzione inversa della cotangente ristretta all'intervallo ${\displaystyle (0,\pi )}$ prende il nome di arcocotangente.

La derivata della funzione cotangente è

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-(1 \cot ^{2}x),}$

mentre l'insieme delle sue funzioni primitive è:

${\displaystyle \int \cot {x}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|\sin {x}\right| c}.}$

Lo sviluppo di Taylor della funzione cotangente (qui arrestato al quinto ordine) è:

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}} o(x^{6}).}$

Inoltre la cotangente è una funzione dispari e ciò comporta che:

${\displaystyle \cot(-x)=-\cot x.}$

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione cotangente:

Note

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.

Voci correlate

• Funzioni trigonometriche
• Arcocotangente
• Tangente (matematica)

Altri progetti

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla cotangente

Collegamenti esterni

• cotangente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• cotangènte, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• cotangènte, su sapere.it, De Agostini.
• cotangente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) cotangent, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cotangent, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Cotangente, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.