Geometria sferica

La geometria sferica è una geometria non euclidea ideata dal matematico Bernhard Riemann. La geometria sferica possiede una immediata interpretazione nella geometria euclidea. Infatti il suo modello si presenta come "descritto" dalla geometria della superficie di una sfera. Ha applicazioni pratiche nella navigazione e nell'astronomia.

La geometria sferica nasce dalla negazione del V postulato di Euclide, o equivalentemente dal IV.1 postulato di Hilbert. Tuttavia, affinché sia una teoria assiomatica coerente, è necessario modificare anche gli assiomi di incidenza e di ordinamento della geometria euclidea (nel caso della geometria ellittica solo quello di ordinamento). Essa è caratterizzata dall'assenza di rette parallele.

Di seguito presentiamo prima il corpo assiomatico della geometria sferica piana e successivamente ne analizzeremo un suo modello. Per una comprensione più intuitiva si può, volendo, leggere prima della trattazione assiomatica il seguente paragrafo: Modello di geometria sferica.

Corpo assiomatico

Con riferimento alla classificazione assiomatica proposta da Hilbert per la geometria euclidea, riportiamo di seguito quella relativa alla geometria sferica piana.

I concetti primitivi sono il punto, le coppie di punti detti punti antipodali, la retta, e il piano. Ci sono anche due relazioni binarie ed una relazione quaternaria primitive:

• Contiene: un punto può essere contenuto in una retta o in un piano, ed una retta può essere contenuta in un piano;
• Separa: la coppia di punti AB separa la coppia di punti CD, in simboli: S(AB|CD) (relazione quaternaria);
• Congruenza, indicata con il simbolo "≡": angoli e segmenti possono essere congruenti.

Il segmento fra due punti A e B è definito come la porzione di retta compresa tra i punti A e B (inclusi A e B).

I - Assiomi di appartenenza

II - Assiomi di ordinamento

III - Assiomi di congruenza

IV - Assioma di Riemann

V - Assioma di continuità (o di Dedekind)

Modello di geometria sferica

Come già accennato precedentemente un modello di geometria sferica è quello costruito su una sfera come preciseremo di seguito. Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta. Su una sfera, i punti sono definiti nel senso usuale. Le rette sono definite come cerchi massimi. Pertanto, nella geometria sferica gli angoli sono definiti tra cerchi massimi, e ne deriva una trigonometria nel piano sferico che differisce dalla trigonometria euclidea nel piano (ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto). Invece la trigonometria sferica nello spazio sferico (ma anche in quello ellittico), se si adottano opportune convenzioni sulla misura dei lati e degli angoli dei triangoli sferici, coincide con la trigonometria sferica euclidea ed iperbolica. Cioè la trigonometria sferica appartiene al corpo della geometria assoluta.
La distanza tra due punti della sfera è il segmento minimo che li unisce, geodetica.

In base a tale interpretazione (modello) tutti gli assiomi e le proprietà della geometria sferica risultano essere proposizioni in geometria euclidea. infatti, ad esempio, per due punti antipodali passano infinite rette.

Teoremi

• La circonferenza
  La circonferenza è definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto dato detto centro. Si dimostra che una circonferenza può anche essere definita come il luogo dei punti equidistanti da una retta data.
• Area di un Triangolo
  Dato un triangolo sferico costruito su una sfera di raggio R di angoli ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$, l'area A del triangolo è:
  ${\displaystyle A=R^{2}(\alpha \beta \gamma -\pi )}$.
• Somma degli angoli interni di un triangolo
  Dalla relazione precedente subito discende che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di ${\displaystyle \pi }$ e minore di 3${\displaystyle \pi }$:
  ${\displaystyle \alpha \beta \gamma =\pi A/R^{2}}$.
• Criteri di congruenza tra triangoli
  Sono uguali due triangoli sferici che abbiano ordinatamente uguali:

1. due lati e l'angolo compreso;
2. due angoli e il lato comune
3. i tre lati;
4. i tre angoli.

• Teorema di Pitagora
  Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno dell'ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti: ${\displaystyle \cos(a/k)=\cos(b/k)\cos(c/k)}$ Facendo lo sviluppo in serie al secondo ordine delle funzioni trigonometriche, si ottiene l'espressione universalmente nota del Teorema di Pitagora in geometria euclidea: ${\displaystyle a^{2}=b^{2} c^{2}}$
• Area di un poligono sferico
  L'area di un poligono sferico di n lati è:
  ${\displaystyle A=R^{2}(\alpha _{1} \alpha _{2} ... \alpha _{n}-(n-2)\pi )}$.
  La sua dimostrazione si basa sulla possibilità di scomporre un poligono sferico in triangoli.
• Formula di eulero
  Dato un poliedro sferico convesso con V vertici, S spigoli ed F facce, vale:
  V-S F=2.
• Tutte le perpendicolari ad una retta concorrono in due punti, punti antipodali.
• Due punti antipodali dividono la retta in due parti congruenti.
• Due punti antipodali dividono in due parti congruenti tutte le rette che passano per essi.
• Tutte le rette sono congruenti.
• Dati quattro punti distinti A, B, C, D di una stessa retta, vale al più una delle seguenti relazioni: S(AB|CD), S(AC|BD), S(AD|BC).
• In un triangolo rettangolo l'angolo opposto ad uno dei due lati dell'angolo retto è acuto, ottuso o retto a seconda che tale lato è minore, maggiore o congruente all'altro lato dell'angolo retto.

Varietà sferiche

Oltre alla sfera bidimensionale, altri spazi hanno una geometria sferica: questi spazi vengono denominati varietà sferiche. La geometria sferica è data formalmente da una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a 1.

I modelli base di varietà sferiche sono le sfere ${\displaystyle S^{n}}$ di dimensione arbitraria (ad esempio la sfera tridimensionale ${\displaystyle S^{3}}$). Tutte le altre varietà sferiche hanno la struttura locale di una sfera, ma possono avere una diversa topologia globale: tra questi ci sono gli spazi proiettivi, ottenuti identificando i punti antipodali di una sfera, che non sono orientabili in dimensione ${\displaystyle n}$ pari. In dimensione ${\displaystyle n=3}$ ci sono anche gli spazi lenticolari.

Note

Bibliografia

• Le Geometrie non Euclidee e i fondamenti della geometria di E. Agazzi, D. Palladino – Edizioni Scientifiche e Tecniche Mondadori.

Voci correlate

• Trigonometria sferica
• Eversione della sfera
• Geometria euclidea
• Geometria non euclidea
• V postulato di Euclide
• Assiomi di Hilbert
• Geometria ellittica
• Geometria iperbolica
• Geometria proiettiva

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla geometria sferica

Collegamenti esterni

• Geometria sferica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) spherical geometry, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Spherical Geometry, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Spherical Geometry, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spherical geometry, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (en) La geometria sulla sfera
• La geometria sulla sfera, su users.libero.it.
• Geometrie non euclidee, su progettomatematica.dm.unibo.it.